포트란 LAPACK 질문입니다!

n x n 사이즈의 역행렬을 구하려는데요.

역행렬 구하는 subroutine 만드려다가 도저히 감당을 못하겠어서 LaPack을 써서

해결하려구요. 근데 이게 사용방법이 만만치 않네요.

혹시 DGETRF와 DGETFI 의 사용법, 특히나 여기에 입출력되는 값들의 의미가 어떤건지

설명좀 해주실 분 있나요?

선형대수학을 너무 간단히 배워서 이거 참 이해하기 어렵네요.

인풋으로 그냥 행렬의 행, 열 사이즈와 행렬자체를 넣으면 나오겠거니 했는데 뭐이리도 복잡한지..

질문 | 1854명이 읽었어요. 3.129.211.87

비공개 손님 … 2016-02-13 19:26:14

라이브러리 사용은 모르겠고, 역행렬을 구하는 알고리즘은 기본적으로 가우스 소거법이나 크래머의 법칙을 이용합니다. 가우스 소거법이 속도도 빠르고 구현하기도 쉽긴한데 피보팅 문제 - 즉, 어떤 수를 나눈 값의 오차가 이 값의 역수를 취했을 때 커지기 때문에 나눗셈을 할 때 제수를 선택하는 문제 -가 있습니다. 크래머의 법칙은 역행렬의 원소 하나하나를 계산할 수 있는데, 행렬식을 계산해야되서 계산량이 많으며 재귀함수를 사용해야 되서 포트란의 Subroutine으로 구현이 될지 모르겠네요. 포트란에도 함수가 있으니 함수를 재귀적으로 호출해야 할 겁니다.

일단, 제가 지금 바빠서 자세한 설명은 못드리고, 직접 코딩하실 거면 구글에 inverse matrix algorithm 으로 검색해보시면 꽤 쉽게 알고리즘을 얻을 수 있으리라 판단되고, LaPack이라는 라이브러리를 쓰실 거면 해당 라이브러리의 README나 문서를 읽는 것이 먼저라고 생각합니다.

비공개 손님 … 2016-02-14 11:55:56

크래머 법칙사용해서 행렬식 일일히 구하는 방법 밖에 몰라서 그걸로 하려했더니 머리가 복잡해지더라구요...

LAPACK에선 위에서 말씀하신 가우스 소거법을 쓰던데요. 수학 공부 해야겠네요...

비공개 손님 … 2016-02-14 12:29:05

가우스 소거법이 그리 어려운게 아닙니다. 우리가 중학생이었을 때 배우는 연립 방정식을 푸는 것을 행렬의 언어로 표현한 것입니다. 예를 들어

x + 2y = 3
-2x + y = 1

이런 연립방정식을 행렬로 표현하면

( 1 2)(x) = (3)
(-2 1)(y) = (1)

로 표현가능한데 앞의 2x2 행렬을 A, 미지수 행렬을 X, 등호 오른 쪽의 행렬을 B라고 한다면 위의 행렬은 다음과 같이 표현이 됩니다.

AX = B

여기서 X를 구한다는 것은 A의 역행렬을 양변의 왼쪽에 곱해준다는 것이므로 A의 역행렬을 inv(A)라고 표기한다면

inv(A)AX = inv(A)B

가 되고 따라서

X = inv(A)B

가 됩니다. 이제 우리가 중학생이였을 때 배운 방식으로 풀어낸 연립방정식의 해를 C라고 한다면 결국에는

X = C

가 될텐데 즉, 위의 두식을 비교해보면

inv(A)B = X = C

라는 거죠. 즉, 중학생일 때 배운 쉬운 연립방정식 풀이법을 사용하여 A의 역행렬을 유추해 낼 수 있다는 것이 가우스 소거법의 핵심입니다. 방법은 다음과 같습니다.

1. 우리는 중학일 때 배운 연립방정식을 푸는데 사용한 3가지 계산법만 사용한다. 즉, 한 식에 일정한 수를 곱하는 것, 한 식에서 다른 한 식에 일정한 수를 곱한 것을 더하거나 빼는 것, 한 식과 다른 식의 자리를 바꾸는 것이다.

2. 이를 행렬의 언어로 바꾸면 한 행에 일정한 수를 곱하는 것, 한 행에서 다른 행에 일정한 수를 곱한 것을 더하거나 빼는 것, 한 행과 다른 행의 자리를 바꾸는 것이다.

3. 이제 항등행렬을 I 라고 하고 다음과 같이 A 행렬과 I 행렬을 붙여서 생각할 때,

(A | I)

2에서 언급한 3가지 방법으로 A를 항등행렬로 만들 때 같은 과정을 I에 적용하면 I는 A의 역행렬로 변한다.

즉, 위의 예제에서

( 1 2 | 1 0)
(-2 1 | 0 1)

라고 두고 2번째 행에 0.5를 곱하면

( 1 2 | 1 0)
(-1 0.5 | 0 0.5)

두번째 행에 첫번째 행을 더한 결과를 두번째행으로 쓰면

(1 2 | 1 0)
(0 2.5|1 0.5)

두번쩨 행에 0.4를 곱하면

(1 2 | 1 0)
(0 1 | 0.4 0.2)

두번째 행에 2를 곱한 것을 첫번째 행에서 뺀 것을 첫번째 행에 적으면

(1 0 | 0.2 -0.4)
(0 1 | 0.4 0.2)

이제 보시면 왼쪽은 항등행렬로 되었고 옆에 보이시는

(0.2 -0.4)
(0.4 0.2)

가 A의 역행렬이 됩니다.

( 1 2) (0.2 -0.4) = (1 0)
(-2 1) (0.4 0.2) = (0 1)

실제로 종이가 많이 들어서 그렇지 4x4 이상의 정방행렬의 역행렬을 구하는 문제가 시험에 나오면 가우스 소거법이 젤 쉽고 또 빨라요.

비공개 손님 … 2016-02-15 13:00:45

자세한 이론 답변 감사드립니다. 한번 고민해서 직접 서브루틴을 만들어봐야겠네요.

비공개 손님 … 2016-02-16 17:59:26

4/ 가우스 소거법을 만드신다면 요령이 있는데, 대각 성분이 1인 상삼각행렬로 만든 후 밑에서 치고 올라가면 쉬워요. 예를 들면

1 4 3
0 1 2
0 0 1

로 먼저 만든 후, 3행의 2배를 2행에서 빼고 3행의 3배를 1행에서 빼면
1 4 0
0 1 0
0 0 1

이 되고 여기서 2행의 4배를 1행에서 빼면 항등행렬이 됩니다.
1 0 0
0 1 0
0 0 1

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